Yüklenirken Lütfen Bekleyiniz...

MERKEZİ LİMİT TEOREMİ NEDİR?


İhtimal Teorisinin Laplace tarafından ileri sürülmüş ve kesin ispatı Liapunof tarafından yapılmış olan önemli bir teoremidir. En basit şekli ile şöyle özetlenebilir: Bir ana kütleden tesadüfi olarak seçilen n birimlik bir numunenin toplamı (Sxi = x1+x2+…+xn) ile aritmetik ortalaması (x) in bölünmesi, (yani çok sayıda n lik numuneler alındığı takdirde elde edilecek veya x değerlerinin teşkil ettiği serinin şekli) ana kütlenin dağılımı normal olmasa bile, n nin büyümesi üzerine normal bölünmenin Standard şekline yaklaşır. Bunun şartı numune birimlerinin birbirinden bağımsız ve ana kütle varyansının sonlu (ölçülebilir) olmasıdır. Ancak daha genel bazı teoremlere göre belirli hallerde bu iki şart da zorunlu değildir.

Merkezi limit teoreminden mühim bir pratik sonuç doğar: Büyük numunelerin toplam ve ortalamalarına ait ihtimallerin, ana kütlenin normal dağılmaması halinde de, normal eğri tabloları yardımıyle tesbiti mümkün olur. Mesela % 60 inin erkek olduğu bilinen bir insan topluluğundan seçilecek büyük bir numunede erkek oranının % 70 den fazla çıkması ihtimali aranmaktadır. iki şıklı bir ana kütle bahis konusu olduğundan (seçim iadeli usûlle yapılmışsa) bu ihtimalin aslında binom formülü yardımıyla hesaplanması gerekir. Ancak n büyük olunca binom formülünün uygulanması çok zorlaştığı gibi binom bölünmesi de normale yaklaşır. Dolayısıyle mesele önemli bir hataya meydan verilmeden normal eğri integrali ile çözülebilir.

Öte yandan normal eğri integralinin uygulanabilmesi için (n) in ne büyüklükte olması gerektiği hakkında genel bir hüküm verilemez. Bu husus ana kütlenin şekline bağlıdır. Ana kütle normal ise ve varyansı biliniyorsa 2 lik numunelerin bile toplamı ve ortalaması normal bölünür. Ana kütlenin şekli normalden çok ayrıldığında ise bu ölçülerin bölünmeleri ancak (n) hayli daha büyük olduğunda normale yaklaşır. Genellikle ortalama ve toplam hususunda normal eğri integralinden faydalanılabilmek için, in hiç değilse = 30 olması lazım geldiği kabul edilmektedir.

Merkezi limit teoremi yalnız numunenin toplamı ve aritmetik ortalaması için geçerlidir. Gerçi normal dağılmayan mesela rektangüler (dörtgensel) veya ters J< şeklindeki -ana -kütlelerden alınacak numunelere ait varyans gibi diğer bazı ölçülerin bölünmesinin de, n büyüyünce normale yaklaşmak eğilimini gösterdiği tesbit edilmiştir. Ne var ki, bu yaklaşmanın yavaş olduğu görüldüğü gibi normal dağılmayan diğer ana kütlelerde durum da belli değildir. Bundan dolayı toplam ve aritmetik ortalama dışındaki numune ölçüleri hususunda normal eğri integralini kullanmakta ihtiyatlı olmak gereklidir.

n in büyümesi üzerine bir çok ihtimal bölünmelerinin -mesela Ki kare ve t bölünmelerinin- de normale yaklaştığı kaydedilmelidir.

Almancası : zentraler Grenzwertsatz.

Fransızcası : théoréme de limite centrale.

İngilizcesi : central limit theorem.